Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，對(duì)判別式討論，即當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（Ⅱ）可得$0＜a＜\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即為$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2x+2lnx，$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}$，
則f（1）=-1，f'（1）=2，
所以切線方程為y+1=2（x-1），
即為y=2x-3．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
（1）當(dāng)△=4-8a≤0，即$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)△=4-8a＞0且a＞0，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，由2x²-2x+a=0，得${x_{1，2}}=\frac{{1±\sqrt{1-2a}}}{2}$，
由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}$或$x＞\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$；
由f'（x）＜0，得$\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$．
綜上，當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}）$，$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$；
單調(diào)遞減區(qū)間是$（\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（Ⅱ）可得$0＜a＜\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，則x₁+x₂=1，${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$，
由$0＜a＜\frac{1}{2}$，可得$0＜{x_1}＜\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-2{x_1}+aln{x_1}}}{x_2}=\frac{{x_1^2-2{x_1}+（2{x_1}-2x_1^2）ln{x_1}}}{x_2}$
=$\frac{{x_1^2-2{x_1}+（2{x_1}-2x_1^2）ln{x_1}}}{{1-{x_1}}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，則-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即$\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍，屬于中檔題．