Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=2得一關(guān)系式，再把S₃變?yōu)镾₂+a₃得另一關(guān)系式，聯(lián)立可求a₃，然后把遞推式中n取1，再結(jié)合S₃=15聯(lián)立方程組求得a₁，a₂；
（2）由（1）中求得的a₁，a₂，a₃的值猜測出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）由S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，得：
S₂=4a₃-20  ①
又S₃=S₂+a₃=15  ②
聯(lián)立①②解得：a₃=7．
再在S_n=2na_n+1-3n²-4n中取n=1，得：
a₁=2a₂-7  ③
又S₃=a₁+a₂+7=15  ④
聯(lián)立③④得：a₂=5，a₁=3．
∴a₁，a₂，a₃的值分別為3，5，7；
（2）∵a₁=3=2×1+1，a₂=5=2×2+1，a₃=7=2×3+1．
由此猜測a_n=2n+1．
下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：
1、當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3=2×1+1成立．
2、假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=2k+1．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
由S_n=2na_n+1-3n²-4n，得Sk=2kak+1-3k2-4k，
Sk+1=2(k+1)ak+2-3(k+1)2-4(k+1)，
兩式作差得：ak+2=

2k+1

2k+2

ak+1+

6k+7

2k+2

．
∴ak+1=

2k-1

2k

ak+

6k+1

2k

=

2k-1

2k

•(2k+1)+

6k+1

2k

=

4k2-1+6k+1

2k

=2（k+1）+1．
綜上，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
∴a_n=2n+1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，考查了學(xué)生的靈活應(yīng)變能力和計(jì)算能力，是中檔題．