Question

設(shè)n為滿足C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450的最大自然數(shù)，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)題意，利用r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

，可將C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n變形可得C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…

C

n-1 n-1

）=n•2^n-1，結(jié)合題意可得n•2^n-1，＜450，且n為自然數(shù)，解可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

，
令t=C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…

C

n-1 n-1

）=n•2^n-1，
若C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450，即n•2^n-1，＜450，且n為自然數(shù)，
解可得，n≤7，
則滿足C¹_n+2C²_n+3C³_n+…+nCⁿ_n＜450的最大自然數(shù)為7；
故答案為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合及組合數(shù)公式，解答的關(guān)鍵是利用r

C

r n

=n

C

r-1 n-1

進(jìn)行變形化簡(jiǎn)．