Question

11．求下列函數(shù)的值域．
①f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$；
②f（x）=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$；
③f（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[-1，4]．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出${x}^{2}+3x-\frac{1}{4}$的范圍，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求得函數(shù)的值域；
（3）利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答 解：①∵${x}^{2}+3x-\frac{1}{4}=（x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{5}{2}≥-\frac{5}{2}$，
∴0＜（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$≤$（\frac{1}{3}）^{-\frac{5}{2}}$=$9\sqrt{3}$．
∴f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$的值域?yàn)椋?，$9\sqrt{3}$]；
②∵$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，∴$-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$，則$1-（\frac{1}{2}）^{x}＜1$，
∴f（x）=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$的值域?yàn)閇0，1）；
③∵x∈[-1，4]，∴${2}^{x}∈[\frac{1}{2}，16]$，
令t=2^x，則t∈$[\frac{1}{2}，16]$，
∴g（t）=f（x）=4^x-3•2^x+1=t²-3t+1．
則當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)有最小值為$（\frac{3}{2}）^{2}-3×\frac{3}{2}+1=-\frac{5}{4}$；
當(dāng)t=16時(shí)，函數(shù)有最大值為16²-3×16+1=209．
∴f（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[-1，4]的值域?yàn)閇-$\frac{5}{4}，209$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．