Question

定義“正對數(shù)”：ln⁺x=

0 0＜x＜1 lnx x≥1

，現(xiàn)有四個命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中的真命題有：

 

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于①，由“正對數(shù)”的定義分別對a，b從0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0兩種情況進(jìn)行推理；
對于②，通過舉反例說明錯誤；對于③④，分別從四種情況，即當(dāng)0＜a＜1，b＞0時；當(dāng)a≥1，0＜b＜1時；當(dāng)0＜a＜1，b≥1時；當(dāng)a≥1，b≥1時進(jìn)行推理．

解答： 解：對于①，當(dāng)0＜a＜1，b＞0時，有0＜a^b＜1，從而ln⁺（a^b）=0，bln⁺a=b×0=0，
∴l(xiāng)n⁺（a^b）=bln⁺a；
當(dāng)a≥1，b＞0時，有a^b＞1，從而ln⁺（a^b）=lna^b=blna，bln⁺a=blna，
∴l(xiāng)n⁺（a^b）=bln⁺a；
∴當(dāng)a＞0，b＞0時，ln⁺（a^b）=bln⁺a，命題①正確；
對于②，當(dāng)a=

1

4

，b=2時，滿足a＞0，b＞0，而ln⁺（ab）=ln⁺

1

2

=0，ln⁺a+ln⁺b=ln⁺

1

2

+ln⁺2=ln2，
∴l(xiāng)n⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b，命題②錯誤；
對于③，由“正對數(shù)”的定義知，ln⁺x≥0且ln⁺x≥lnx．
當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時，ln⁺a-ln⁺b=0-0=0，而ln⁺(

a

b

)≥0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
當(dāng)a≥1，0＜b＜1時，有

a

b

＞1，ln⁺a-ln⁺b=ln⁺a-0=ln⁺a，而ln⁺(

a

b

)=ln(

a

b

)=lna-lnb，
∵lnb＜0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
當(dāng)0＜a＜1，b≥1時，有0＜

a

b

＜1，ln⁺a-ln⁺b=0-ln⁺b=-ln⁺b，而ln⁺(

a

b

)=0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
當(dāng)a≥1，b≥1時，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln(

a

b

)，則ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
∴當(dāng)a＞0，b＞0時，ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b，命題③正確；
對于④，由“正對數(shù)”的定義知，當(dāng)x₁≤x₂時，有ln+x1≤ln+x2，
當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時，有0＜a+b＜2，從而ln⁺（a+b）＜ln⁺2=ln2，ln⁺a+ln⁺b+ln2=0+0+ln2=ln2，
∴l(xiāng)n⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
當(dāng)a≥1，0＜b＜1時，有a+b＞1，從而ln⁺（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，
ln⁺a+ln⁺b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，
∴l(xiāng)n⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
當(dāng)0＜a＜1，b≥1時，有a+b＞1，從而ln⁺（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，
ln⁺a+ln⁺b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，
∴l(xiāng)n⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
當(dāng)a≥1，b≥1時，ln⁺（a+b）=ln（a+b），ln⁺a+ln⁺b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵2ab-（a+b）=ab-a+ab-b=a（b-1）+b（a-1）≥0，
∴2ab≥a+b，從而ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
命題④正確．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了新定義，解答的關(guān)鍵是對“正對數(shù)”定義的理解與應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，是壓軸題．