Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，（2）

【解析】

(1)求出時(shí)及,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間,由導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;

(2)令,恒成立可變形為,對(duì)恒成立.方法一:令,取必要條件,解得,只要證明當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立即可;方法二:上式繼續(xù)變形為:對(duì)恒成立,設(shè),因此,故而求出即可得出結(jié)論.

解:(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí),

當(dāng),;,,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為,

所以有極大值,無極小值;

(2)方法一:即恒成立,

令,即,上式可變?yōu)?/span>,

即對(duì)恒成立,

令,

取必要條件,解得,

下證當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,

,

因?yàn)?/span>,所以在單調(diào)遞增,

由于,,

所以在存在唯一零點(diǎn),

所以在存在唯一極小值點(diǎn),

此時(shí),即,

,

由于,可得,,

所以恒成立,即對(duì)恒成立,

綜上可得的取值范圍為.

方法二:即恒成立,

令,即,上式可變?yōu)?/span>,

即對(duì)恒成立,

即對(duì)恒成立,

設(shè),則,

可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

因此,

所以,解得,

即的取值范圍為.