【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于和兩點.
(1)當(dāng)時,求直線的方程;
(2)若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于兩點,記與的面積分別為,求的最小值.
【答案】(1);(2)12.
【解析】
(1) 設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理求解得即可.
(2) 聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理表達(dá),再根據(jù)基本不等式的方法求最小值即可.
解: (1)由直線過定點,可設(shè)直線方程為.
聯(lián)立消去,得,
由韋達(dá)定理得,
所以.
因為.所以,解得.
所以直線的方程為.
(2)由(1),知的面積為
.
因為直線與直線垂直,
且當(dāng)時,直線的方程為,則此時直線的方程為,
但此時直線與拋物線沒有兩個交點,
所以不符合題意,所以.因此,直線的方程為.
同理,的面積.
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即時等號成立.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)圖像在點處的切線;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若函數(shù)的在區(qū)間的最大值為,求的值.
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【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點,為該橢圓的一條垂直于軸的動弦,直線與軸交于點,直線與直線的交點為.
(1)證明:點恒在橢圓上.
(2)設(shè)直線與橢圓只有一個公共點,直線與直線相交于點,在平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出該點坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,若關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時,證明: .
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【題目】下表給出的是某城市年至年,人均存款(萬元),人均消費(萬元)的幾組對照數(shù)據(jù).
年份 | ||||
人均存款(萬元) | ||||
人均消費(萬元) |
(1)試建立關(guān)于的線性回歸方程;如果該城市年的人均存款為萬元,請根據(jù)線性回歸方程預(yù)測年該城市的人均消費;
(2)計算,并說明線性回歸方程的擬合效果.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)當(dāng)時,函數(shù)(其中)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時間之和統(tǒng)計如圖所示.
(1)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和在(時)內(nèi)的頻率;
(2)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和的平均數(shù)(每組取該組的中間值作代表);
(3)以頻率估計概率,記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時間之和在(時)內(nèi)的周數(shù)為,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓:的離心率,且直線與橢圓有且只有一個公共點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與軸交于點,過點的直線與橢圓交于不同的兩點,若,求實數(shù)的取值范圍.
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