Question

定義在區(qū)間（1，+∞）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x）．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質P（a）．
設函數(shù)f（x）=lnx+

a+2

x+1

（x＞1），其中a為實數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）具有性質P（a）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），然后將其配湊成f′（x）=h（x）（x²-ax+1）這種形式，再說明h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，即可證明函數(shù)f（x）具有性質P（b）；
（2）根據(jù)第一問令φ（x）=x²-bx+1，討論對稱軸與2的大小，當a≤2時，對于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調性，當a＞2時，φ（x）圖象開口向上，對稱軸 x=

a

2

＞1，可求出方程φ（x）=0的兩根，判定兩根的范圍，從而確定φ（x）的符號，得到f′（x）的符號，最終求出單調區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-

a+2

(x+1)2

=

1

x(x+1)2

（x²-ax+1）
∵x＞1時，h（x）=

1

x(x+1)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）具有性質P（b）；
（2）當a≤2時，對于x＞1，φ（x）=x²-ax+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此時f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當a＞2時，φ（x）圖象開口向上，對稱軸 x=

a

2

＞1，
方程φ（x）=0的兩根為：

a+ a2-4

2

，

a- a2-4

2

，而

a+ a2-4

2

＞1，

a- a2-4

2

=

2

a+ a2-4

∈（0，1）
當 x∈（1，

a+ a2-4

2

）時，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此時f（x）在區(qū)間 （1，

a+ a2-4

2

）上遞減；
同理得：f（x）在區(qū)間[

a+ a2-4

2

，+∞）上遞增．
綜上所述，當b≤2時，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增；
當b＞2時，f（x）在 （1，

a+ a2-4

2

）上遞減；f（x）在[

a+ a2-4

2

，+∞）上遞增

點評：本題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題