Question

直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t為參數(shù)），T為直線l與曲線C的公共點(diǎn)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)T的極坐標(biāo)；
（2）P是曲線C上的一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C的參數(shù)方程為

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），化為

x2

6

+

y2

2

=1．把直線l的參數(shù)方程

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t為參數(shù)）代入上述方程解得t即可得出；
（2）直線l的方程為：x+

3

y-2

3

=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得P到直線l的距離d=

| 6 cosθ+ 6 sinθ-2 3 |

2

=

|2 3 sin(θ+ π 4 )-2 3 |

2

，利用正弦函數(shù)的值域即可得出．

解答： 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），化為

x2

6

+

y2

2

=1．
把直線l的參數(shù)方程

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t為參數(shù)）代入上述方程可得：t²-4t+4=0，
解得t=2，
∴T（

3

，1），化為T(2，

π

6

)．
（2）直線l的方程為：x+

3

y-2

3

=0，
∴P到直線l的距離d=

| 6 cosθ+ 6 sinθ-2 3 |

2

=

|2 3 sin(θ+ π 4 )-2 3 |

2

≤

4 3

2

=2

3

．
∴P到直線l的距離的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、正弦函數(shù)的值域、兩角和差的正弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．