Question

已知函數f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ） 討論函數f（x）的單調性．
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，再求導f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；從而討論導數的正負以確定函數的單調性；
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上單調遞增知f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，從而化為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為{x|x＞0}；
f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上遞增；
當a＞0時，x∈(0，

2a

2

)時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
x∈(

2a

2

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²，
即a≤2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．