Question

11．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 5
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 設(shè)出過焦點的直線方程，與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立把B，C表示出來，再$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，求出a，b，c，然后求雙曲線的離心率．

解答 解：因為F（c，0），
所以過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作斜率為1的直線為：y=x-c，
漸近線的方程是：y=±$\frac{a}$x，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x-c\\ y=\frac{a}x\end{array}\right.$得：B（$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x-c\\ y=-\frac{a}x\end{array}\right.$得，C（$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
所以 $\overrightarrow{FB}$=（c-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{ac}{a+b}$-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a+b}$-$\frac{bc}{a-b}$），
又 $\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，解得：b=3a，
所以由a²+b²=c²得，10a²=c²，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意兩點間距離公式的合理運用．