Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸的方程；
（2）若將函數(shù)y=f（x）的圖象上個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，設(shè)α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=$\frac{8}{5}$，求g（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)率求得g（x）的解析式，根據(jù)g（α）=1，g（β）=$\frac{8}{5}$，求得cos2α、cos2β的值，可得sin2α、sin2β的值，再利用兩角差的余弦公式求得g（α-β）=cos（2α-2β） 的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$．可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$ k∈Z．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再將所得圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin[（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x的圖象．
由 g（α）=2cos2α=1，可得cos2α=$\frac{1}{2}$；∵g（β）=2cos2β=$\frac{8}{5}$，可得cos2β=$\frac{4}{5}$．
再結(jié)合α，β∈（0，π），可得2α、2β還是銳角，∴sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2β=$\frac{3}{5}$，
∴g（α-β）=cos（2α-2β）=cos2αcos2β-sin2αsin2β=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．