Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析: （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線斜率等于,再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程;(2)先明確函數(shù)的定義域,再求函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上的零點(diǎn): 由，得,分類(lèi)討論兩個(gè)零點(diǎn)的大小,再結(jié)合列表確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，

所以

又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以切線方程

曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（2）由于，

所以

由，得

(1)當(dāng)時(shí)，則，易得在區(qū)間， 內(nèi)為減函數(shù)，

在區(qū)間為增函數(shù)，故函數(shù)在處取得極小值

函數(shù)在處取得極大值

當(dāng)時(shí)，則,易得在區(qū)間， 內(nèi)為增函數(shù)，

在區(qū)間為減函數(shù)，故函數(shù)在處取得極小值；

函數(shù) 在處取得極大值

點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題目. 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為： .求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程與求函數(shù)y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一條．