Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，試討論關于的方程的解的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)無極值，當時，函數(shù)有極小值，無極大值；

（2）方程有唯一解.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)定義域，求導，令.利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性，求

出函數(shù)的極值；（2）令，對其求導，分為和兩種情形，根據(jù)導數(shù)與的關系，判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)其大致圖象得到其與軸的交點分數(shù)，故而得到方程解的個數(shù).

試題解析：（1）依題意得，，，

當時，，故函數(shù)在上單調遞增，無極值；

當時，，

令，得，函數(shù)單調遞減，

令，得，函數(shù)單調遞增，

故函數(shù)有極小值.

綜上所述，當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)有極小值，無極大值.

（2）令，，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù).

易得.

①若，則，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到，，所以有唯一零點；

②若，則當或時，，當時，，

所以函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，

注意到，，所以有唯一零點.

綜上，若，函數(shù)有唯一零點，即方程有唯一解.