Question

已知關(guān)于x的方程x²+ax+4=0．求下列條件下a的取值范圍．
（1）若關(guān)于x的方程在[-1，5）上有解．
（2）若關(guān)于x的方程在[-1，5）上無解．
（3）若關(guān)于x的方程在[-1，5）上只有一解．
（4）若關(guān)于x的方程在[-1，5）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，令f（x）=x²+ax+4，從而可得對(duì)稱軸為-

a

2

，開口向上，f（0）=4，△=a²-4×4=（a+4）（a-4）；
（1）在△≥0的情況下按對(duì)稱軸的位置討論即可，故分三種情況討論；
（2）由（1）可直接寫出（2）中a的取值范圍；
（3）在有解的條件下排除有兩個(gè)不同的解，從而得到有一解的情況即可；
（4）由（3）直接寫出即可．

解答： 解：令f（x）=x²+ax+4，
則有對(duì)稱軸為-

a

2

，開口向上，f（0）=4，
△=a²-4×4=（a+4）（a-4）；
（1）若使關(guān)于x的方程在[-1，5）上有解，
①若a≥4，則-

a

2

≤-2；
則f（-1）=1-a+4≤0，
解得a≥5，此時(shí)方程在[-1，5）上有一個(gè)解；
②若-10＜a≤-4，則2≤-

a

2

＜5，
則f（-

a

2

）=-

a2

4

+4≤0，
即-10＜a≤-4；
③若a≤-10，則-

a

2

≥5，
則f（5）=25+5a+4＜0，
解得，a＜-

29

5

，此時(shí)方程在[-1，5）上有一個(gè)解；
綜上所述，a≥5或a≤-4；
（2）若使關(guān)于x的方程在[-1，5）上無解，
則-4＜a＜5；
（3）若使關(guān)于x的方程在[-1，5）上有兩個(gè)不同的解，
則

-10＜a≤-4 f(- a 2 )=- a2 4 +4＜0 f(5)=25+5a+4＞0

解得，
-

29

5

＜a＜-4，
故關(guān)于x的方程在[-1，5）上只有一解時(shí)，
a≥5或a=-4或a≤-

29

5

；
（4）由（3）知，-

29

5

＜a＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象，屬于中檔題．