Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，且PA=AB=a，求異面直線PD與AC所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：在正方形ABCD中，過D作DE∥AC，交BC延長線于E，連接AE，PE，則∠PDE或補角即為異面直線PD與AC所成的角，運用線面垂直的性質求出三角形PDE三邊的長，再由余弦定理，即可得到．

解答： 解：在正方形ABCD中，過D作DE∥AC，交BC延長線于E，連接AE，PE，
則∠PDE或補角即為異面直線PD與AC所成的角，
由于PA⊥AB，PA⊥AD，則PA⊥平面ABCD，PA⊥AE，
則PD=

2

a，DE=AC=

2

a，AE=

a2+4a2

=

5

a，
PE=

a2+5a2

=

6

a，
在三角形PDE中，cos∠PDE=

2a2+2a2-6a2

2 2 a• 2 a

=-

1

2

，
則∠PDE=120°，
即有異面直線PD與AC所成的角為60°．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關系和空間異面直線所成角的求法，考查蘊算能力，屬于中檔題．