Question

12．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在如圖的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)求f（x）的圖象，并求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．
（2）畫(huà)圖，并由圖象得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x=-x²-2x，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴f（x）=x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）其圖象如圖所示，
由圖象可知，f（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解，利用了奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x），以及函數(shù)圖象的畫(huà)法和不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．