Question

關(guān)于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且僅有一個實數(shù)解，則a的取值范圍為________．

Answer 1

a≤0或a=
分析：原條件?a=--有且僅有一個正實數(shù)解，令=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數(shù)解，然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求出a的取值范圍．
解答：關(guān)于實數(shù)x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，僅有一個正數(shù)解?a=--有僅有一個正實數(shù)解．
令=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數(shù)解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=或t=-1．
又t∈（-1，）時，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（，+∞）時，f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（）=．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結(jié)合三次函數(shù)圖象，如圖．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=．
故答案為：a≤0或a=．
點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及三次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)方程的思想，屬于中檔題．