Question

關(guān)于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為

a≤0或a=

5

27

．

Answer 1

分析：原條件?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，令

1

x

=t（t≠0），t的符號(hào)與x的符號(hào)一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求出a的取值范圍．

解答：解：關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，僅有一個(gè)正數(shù)解?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解．
令

1

x

=t（t≠0），t的符號(hào)與x的符號(hào)一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=

1

3

或t=-1．
又t∈（-1，

1

3

）時(shí)，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（

1

3

，+∞）時(shí)，f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（

1

3

）=

5

27

．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結(jié)合三次函數(shù)圖象，如圖．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=

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．
故答案為：a≤0或a=

5

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．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及三次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)方程的思想，屬于中檔題．