Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，對(duì)x∈R，都有f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=3^x-1，則f（log₃24）的值為（　�。�

• A、

  1

  8

• B、

  9

  8

• C、

  1

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得f（x）為周期為3的周期函數(shù)，設(shè)-1＜x＜0，據(jù)函數(shù)的奇偶性及x∈（0，1）時(shí)的解析式求出當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）的解析式，求出答案即可．

解答： 解：∵f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，令x=

3

2

+x，
∴f（x+3）=f（-x），
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）為周期為3的周期函數(shù)，
設(shè)-1＜x＜0，則0＜-x＜1
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=3^x-1
∴f（-x）=3^-x-1
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
∴f（x）=3^-x-1，
∵2＜log₃24＜3，
∴2-3＜log₃24-3＜3-3，
∴-1＜log3

24

27

＜0．
∴f（log₃24）=f（log3

24

27

）=

27

24

-1=

1

8

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象的函數(shù)的問(wèn)題，函數(shù)的奇偶性和周期性，關(guān)鍵是求出f（x）的解析式，屬于中檔題．