Question

已知函數(shù)f（x）=

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x²-3x，g（x）=m-2lnx．
（Ⅰ）求f（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有三個不同的交點？若存在，求出m的值或范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點坐標(biāo)，應(yīng)用點斜式方程寫出切線方程；
（Ⅱ）遇到關(guān)于兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的問題，一般是構(gòu)造新函數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點問題，通過導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的最值，把函數(shù)的最值同0進(jìn)行比較，得到結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

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x²-3x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x-3，
則切線的斜率為2-3=-1，切點為（2，-4），
∴f（x）在x=2處的切線方程為：y+4=-（x-2）即x+y+2=0；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，
即函數(shù)m（x）=f（x）-g（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點．
∵m（x）=

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x²-3x+2lnx-m，m′（x）=

(x-2)(x-1)

x

（x＞0）
當(dāng)x∈（0，1）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，2）時，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1，或x=2時，m'（x）=0．
∴m（x）_極大值=m（1）=-m-

5

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，m（x）_極小值=m（2）=-m+2ln2-4．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，
必須且只須m（1）＞0且m（2）＜0，
即2ln2-4＜m＜-

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．
∴存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有三個不同的交點，且m的取值范圍為（2ln2-4，-

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）．

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力．