Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=1處取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出方程組，解出a，b的值，從而求出函數(shù)的表達(dá)式；
（2））由f'（x）=3x²-3因此f'（2）=3×2²-3=9，又f（2）=2³-3×2=2故曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程容易求出．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx-3，
依題意有，

f′(1)=0 f(1)=-2

，
即 

3a+2b-3=0 a+b-3=-2

，
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
（2）∵f'（x）=3x²-3
∴f'（2）=3×2²-3=9，
又f（2）=2³-3×2=2
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為：
y-2=9（x-2），
即9x-y-16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的不等式問(wèn)題，求曲線的切線方程問(wèn)題，本題是一道基礎(chǔ)題．