Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=-3log3

an

2

+1（n∈N^*），求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b20b21

的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系：當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1解決．得出3a_n=a_n-1，判定數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．通項公式易求．
（Ⅱ）bn=-3log3

an

2

+1=-3×log3(

1

3

)n+1=3n+1，利用裂項法求數(shù)列和即可．

解答： 解：（ I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，由s1+

1

2

a1=1，得a₁=

2

3

，
當(dāng)n≥2時，∵s_n=1-

1

2

a_n，s_n-1=1-

1

2

an-1，
∴s_n-s_n-1=

1

2

（a_n-1-a_n），即a_n=

1

3

a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，故a_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（ II）bn=-3log3

an

2

+1=-3×log3(

1

3

)n+1=3n+1，

1

bnbn+1

=

1

(3n+1)(3n+4)

=(

1

3n+1

-

1

3n+4

)×

1

3

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b20b21

=

1

3

×(

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

+…+

1

61

-

1

64

)=

1

3

×(

1

4

-

1

64

)=

5

64

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義及公式法求數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和等知識，屬于常規(guī)題、中檔題，應(yīng)熟練掌握．