Question

8．拋物線y²=2px（p＞0）上任一點(diǎn)Q到頂點(diǎn)O的距離與焦點(diǎn)F的距離之比是k，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用拋物線的參數(shù)方程，結(jié)合基本不等式，即可求k的取值范圍．

解答 解：拋物線的參數(shù)方程是x=2pt²，y=2pt，拋物線上一點(diǎn)Q（2pt²，2pt）
則|OQ|=2pt$\sqrt{{t}^{2}+1}$，|QF|=2pt²+$\frac{1}{2}$p
k=$\frac{2pt\sqrt{{t}^{2}+1}}{2p{t}^{2}+\frac{1}{2}p}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{3}t•\sqrt{{t}^{2}+1}}{4{t}^{2}+1}$≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$\frac{3{t}^{2}+{t}^{2}+1}{4{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，在t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，即Q（p，$\sqrt{2}$p）
∴k∈[0，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程與性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)營(yíng)，正確運(yùn)用拋物線的參數(shù)方程是關(guān)鍵．