Question

（2013•成都二模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n點(diǎn)（a_n，S_n）在直線(xiàn)x+y-2=O上，n∈N^*．
（I）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式a_n
（II）設(shè)直線(xiàn)x=a_n與函數(shù)f（x）=x²的圖象交于點(diǎn)A_n，與函數(shù)g(x)=log

1

2

x的圖象交 于點(diǎn)B_n，記bn=

OAn

.

OBn

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，a_n+s_n=2，利用a_n=s_n-s_n-1可建立a_n與a_n-1之間的遞推關(guān)系，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n，
（II）由題意先求B_n，然后利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出bn=

OAn

•

OBn

，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求和可求

解答：解：（I）由題意可得，a_n+s_n=2
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+s_n-1=2
兩式相減可得，a_n-a_n-1+a_n=0
即a_n=2a_n-1
∵a₁+s₁=2
∴a₁=1
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴a_n=

1

2n-1

（II）由題意可得Bn(

1

2n-1

，n-1)
∴bn=

OAn

•

OBn

=

1

4n-1

+

n-1

4n-1

=

n

4n-1

∴s_n=1×

1

40

+2×

1

4

+3×

1

42

+…+

n

4n-1

 

1

4

sn=1×

1

4

+2×

1

42

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

   
兩式相減可得，

3

4

Sn=1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

∴s_n=

16

9

-(

4n

3

+

16

9

)×

1

4n

=

16

9

-

3n+4

9×4n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用．