Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），g（x）=ax²-（3a+1）x+3，其中a＜0．若存在正整數(shù)m、n，當x₀∈（m，n）時，有f（x₀）＜0，g（x₀）＞0同時成立，則m+n的值為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 9
• D． 7或8或9

Answer 1

分析 分別求解f（x）＜0，g（x）＜0，再求含正整數(shù)的交集，由題意可得存在正整數(shù)m、n，x₀∈（m，n），可得（m，n）⊆（3，a+5），由g（0）＞0，g（a+5）＜0，可得a的范圍，進而得到m，n的范圍，可得m=3，n=4，即可得到答案．

解答 解：令f（x）＜0，即x²-（a+1）x-4（a+5）＜0，
解得-4＜x＜a+5，①
即有a+5＞0，解得a＞-5；
令g（x）＜0，即ax²-（3a+1）x+3＜0，
解得x＞3或x＜$\frac{1}{a}$，②
由題意，存在正整數(shù)m、n，x₀∈（m，n），
由①②可得（m，n）⊆（3，a+5），
當a＜0時，因為g（0）=3＞0，
故只能g（a+5）=a（a+5）²-（3a+1）（a+5）+3＜0，
解得-2＜a＜0，或a＜-$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，
又因為a＞-5，所以-2＜a＜0，
此時n≤a+5＜5，
∵正整數(shù)m，n，∴3≤m＜n≤4，
則m=3，n=4，即m+n=7．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點，不等式的求解，考查集合的包含關系，屬于中檔題．