Question

10．在等比數(shù)列{a_n}中，a_n=8a_n-3（n≥4，且n∈N^*）．且4a₁，${{a}_{2}}^{2}$，a₃成等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$（n≥2，且n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列性質(zhì)，列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$=$\frac{{2}^{n}}{8}$，（n≥2，且n∈N^*），利用分組求和法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a_n=8a_n-3（n≥4，且n∈N^*），且4a₁，${{a}_{2}}^{2}$，a₃成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{n-1}=8{a}_{1}{q}^{n-4}}\\{2（{a}_{1}q）^{2}=4{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=2^n-1．
（2）∵b₁=1，b_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$=$\frac{{2}^{n-2}}{2}$=2^n-3=$\frac{{2}^{n}}{8}$，（n≥2，且n∈N^*），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=1+$\frac{1}{8}（{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+…+{2}^{n}）$=1+$\frac{1}{8}$×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2^n-2+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及分組求和法的合理運(yùn)用．