Question

定義在R上的函數f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k為常數）．
（I）判斷k為何值時，f（x）為奇函數，并證明；
（II）設k=-1，f（x）是R上的增函數，且f（4）=5，若不等式f（mx²-2mx+3）＞3對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（I）根據定義在R上的奇函數的性質，有f（0）=0，求得k的值，再根據f（a+b）=f（a）+f（b）+k，賦值a=x，b=-x，即可得到f（-x）與f（x）之間的關系，根據奇函數的定義，即可證得結論；
（II）將k=-1代入恒等式可得f（a+b）=f（a）+f（b）-1，再利用恒等式進行賦值，將3轉化為f（2），再根據f（x）的單調性去掉“f”，轉化為mx²-2mx+3＞2對任意x∈R恒成立，對m分兩種情況討論，當m=0時，和m≠0分別求解恒成立，即可求得實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）在R上為奇函數，則f（0）=0，
∵函數f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k，
∴令a=b=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下證明函數是奇函數
∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=x，b=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
∴f（x）為奇函數；
（Ⅱ）∵k=-1，
∴f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，即2f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵不等式f（mx²-2mx+3）＞3對任意x∈R恒成立，
∴f（mx²-2mx+3）＞f（2）對任意x∈R恒成立，
又∵f（x）是R上的增函數，
∴mx²-2mx+3＞2對任意x∈R恒成立，
∴mx²-2mx+1＞0對任意x∈R恒成立，
①當m=0時，1＞0對x∈R恒成立，
∴m=0符合題意；
②當m≠0時，則有

m＞0 △=4m2-4m＜0

，即

m＞0 0＜m＜1

，
∴0＜m＜1，
∴實數m的取值范圍為0＜m＜1．
綜合①②可得，實數m的取值范圍是[0，1）．

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，函數的恒成立問題，以及抽象函數及其應用．奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數的定義域是否關于原點對稱．注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．