Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2 （n-1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達式；
（2）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)C_n=

2

n(an+7)

（n∈{N^*}），T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n（n∈N^*），是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞

m

32

成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把遞推式變形得到S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*），結(jié)合n≥2時a_n=S_n-S_n-1得到數(shù)列{a_n}是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，進一步求出a_n和S_n；
（2）把S_n代入S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2013化簡即可求得n的值；
（3）把a_n代入C_n=

2

n(an+7)

，整理后求得T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，再由T_n＞

m

32

成立求得最大的整數(shù)m．

解答： （1）證明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），
得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
即a_n-a_n-1=4，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，
S_n=

(a1+an)n

2

=2n²-n （n∈N^*）；
（2）解：由S_n=na_n-2n（n-1），得

Sn

n

=2n-1 （n∈N^*），
又S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2013，得n=1007，即存在滿足條件的自然數(shù)n=1007；
（3）解：∵Cn=

2

n(an+7)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

．
要使T_n＞

m

32

總成立，需

m

32

＜T₁=

1

4

成立，即m＜8且m∈Z，
故適合條件的m的最大值為7．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查了利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．