Question

在銳角△ABC中，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）若sinC=

2

3

，求cosA．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（I）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，再利用倍角公式、兩角和差的正弦公式即可得出；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可解出；
（III）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系可得cosC=

1-sin2C

．再利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinB(2cos2

B

2

-1)+

3

cos2B=0，化為2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0，化為sin(2B+

π

3

)=0，
∴2B+

π

3

=kπ（k∈Z），
∵B為銳角，∴B=

π

3

．
（II）f（x）=sin(2x-

π

3

)，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（III）∵sinC=

2

3

，C為銳角，∴cosC=

1-sin2C

=

5

3

．
∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）
=-

1

2

×

5

3

+

3

2

×

2

3

=

2 3 - 5

6

．

點評：本題綜合考查了向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)、三角函數(shù)的平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．