Question

求和：S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)x=0時(shí)，S_n=1；當(dāng)x=1時(shí)，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；當(dāng)x≠1時(shí)，S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，利用錯(cuò)位相減求和法求解．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，S_n=1；
當(dāng)x=1時(shí)，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
當(dāng)x≠1，且x≠0時(shí)，S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ．②
（1-x）S_n=1+x+x²+x³+…+x^n-1-nxⁿ
=

1-xn

1-x

-nxn，
x=0時(shí)，上式也成立，
∴Sn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

．x≠1．
∴S_n=

1，x=0 n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠0，x≠1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．