Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n為前n項的和，2S_n=3a_n-1．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+（-1）ⁿlog₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程組，得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可求a_n；
（Ⅱ）利用分組求和法，即可求出數(shù)列的前2n項和．

解答： 解：（Ⅰ）因為2S_n=3a_n-1，
所以2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）
兩式相減得2a_n=3a_n-3a_n-1，
所以 a_n=3a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的公比q=3
當(dāng)n=1，得2a₁=3a₁-1，解得a₁=1．
則a_n=3^n-1．
（Ⅱ） b_n=a_n+（-1）ⁿlog₃a_n=3^n-1+（-1）ⁿlog₃3^n-1=3^n-1+（-1）ⁿ（n-1），
則數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n=（1+3+3²+…+3^2n-1）+[-0+1-2+3-…+（2n-1）]=

1-32n

1-3

+n=

32n

2

+n-

1

2

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解以及數(shù)列求和，利用分組求和法以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵．