Question

如圖，四棱錘P-ABCD的底面為正方形，每題側(cè)棱的長都等于底面的長，AC∩BD=O，E、F、G分別是PO、AD、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）求平面EFG與平面PAB所成的二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，由已知條件推導(dǎo)出AP⊥PC，EH⊥PC，F(xiàn)G⊥PC，由此能證明PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面EFG與平面PAB所成的二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)FG∩AC=H，連結(jié)EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分別是PO、AD、AB的中點(diǎn)，
FG∥BD，
∴H為AO中點(diǎn)，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PA=PC，O為AC中點(diǎn)，∴PO⊥AC．
同理，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG，
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OA=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
E（0，0，1），F(xiàn)（1，-1，0），G（1，1，0），

AB

=（-2，2，0），

AP

=（-2，0，2），

EF

=(1，-1，-1)，

GF

=(0，-2，0)，
設(shè)平面EFG的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • EF =x-y-z=0 n • GF =-2y=0

，取x=1，得

n

=(1，0，1)，
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m • AB =-2a+2b=0 m • AP =-2a+2c=0

，取a=1，得

m

=(1，1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

3

，
設(shè)平面EFG與平面PAB所成的二面角的平面角為θ，
sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成二面角的平面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．