Question

考慮以下數(shù)列{a_n}，n∈N^*：
①a_n=n²+n+1；
②a_n=2n+1；
③a_n=ln

n

n+1

．
其中滿足性質(zhì)“對任意的正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的數(shù)列有（　�。�

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，故①成立；對于②，數(shù)列{2n+1}是等差數(shù)列，故②成立；對于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，故③成立．

解答： 解：對于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，
因此{(lán)a_n}不滿足性質(zhì)“對任意的正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
對于②，數(shù)列{2n+1}是等差數(shù)列，故有，

an+2+an

2

=a_n+1，
因此{(lán)a_n}滿足性質(zhì)“對任意的正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
對于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，
又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，
即有

an+2+an

2

≤a_n+1，因上{a_n}滿足性質(zhì)“對任意的正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
綜上所述，滿足性質(zhì)“對任意的正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的數(shù)列為②③．
故選：B．

點評：本題考查數(shù)列對于滿足條件的性質(zhì)是不存在的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．