Question

已知奇函數(shù)f（x）=

-x2+4x ， x＞0 0， x=0 x2+mx ， x＜0

．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上是單調(diào)函數(shù)，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立條件關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上是單調(diào)函數(shù)，即可確定a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，則f（-x）=x²-mx=-f（x），
即x²-mx=x²-4x，
則m=4；
（2）∵f（x）=

-x2+4x， x＞0 0， x=0 x2+4x， x＜0

，
∴對應(yīng)的圖象如圖：
則由圖象可知函數(shù)的增區(qū)間：（-2，2），減區(qū)間（-∞，-2），（2，+∞）；
（3）∵-2＜-1，
∴若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上是單調(diào)函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上只能是單增調(diào)函數(shù)，
則滿足-1＜a-2≤2，
即1＜a≤4，
故a的取值范圍是（1，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出m是解決本題的關(guān)鍵．