Question

已知f（x）=4^x-a•2^x+1+3，a∈R．
（1）若a=1，x∈[0，2]，求f（x）的值域．
（2）f（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用換元法，設(shè)t=2^x（t∈[1，4]），把f（x）化為g（t）在[1，4]上的函數(shù)，求出g（t）的值域即可；
（2）用換元法，設(shè)t=2^x（t＞0），把f（x）=0有解化為求t²-2at+3=0有正根時a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)t=2^x，（t∈[1，4]），…（1分）
∵a=1，可設(shè)g（t）=t²-2t+3，（t∈[1，4]）；
∴g（t）是[1，4]上的增函數(shù)，
∴g（t）_min=g（1）=2，
g（t）_max=g（4）=11；
∴g（t）∈[2，11]，
即f（x）的值域是[2，11]；
（2）f（x）=0，即4^x-a•2^x+1+3=0，
設(shè)t=2^x，（t＞0），∴t²-2at+3=0；
f（x）=0有解，即t²-2at+3=0有正根，
∵t=0時，0²-2a•0+3=3＞0，
∴t²-2at+3=0有正根，
只需滿足：

4a2-12≥0 a＞0

；
解得a≥

3

．

點評：本題考查了用換元法求函數(shù)的值域以及判定一元二次方程有實數(shù)根時系數(shù)應(yīng)滿足的條件是什么，是中檔題．