Question

4．已知函數f（x）=ax²-2ax+3a-4在區(qū)間（-1，1）上有一個零點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若a=1，用二分法求f（x）=0在區(qū)間（-1，1）上的根．

Answer 1

分析 （1）討論a，當a≠0時，函數f（x）的圖象的對稱軸為x=1，從而得f（-1）f（1）＜0，從而解得；
（2）若a=1，f（x）=x²-2x-1，從而可判斷f（x）的零點在（-1，0）上，再依次二分求得f（x）=0在區(qū)間（-1，1）上的根的近似值．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=-4，
故函數f（x）在區(qū)間（-1，1）上沒有零點；
若a≠0，函數f（x）的圖象的對稱軸為x=1；
∵函數f（x）=ax²-2ax+3a-4在區(qū)間（-1，1）上有一個零點，
∴f（-1）f（1）＜0，即（6a-4）（2a-4）＜0，
解得，$\frac{2}{3}$＜a＜2；
（2）若a=1，f（x）=x²-2x-1，
f（-1）=1+2-1=2＞0，f（0）=-1＜0；
故f（x）的零點在（-1，0）上，
f（-0.5）=0.25＞0；
故f（x）的零點在（-0.5，0）上，
f（-0.25）=-0.4375＜0；
故f（x）的零點在（-0.5，-0.25）上，
f（-0.325）=-0.244375＜0；
故f（x）的零點在（-0.5，-0.325）上，
f（-0.4125）=-0.00484375＜0；
故f（x）的零點在（-0.5，-0.4125）上，
f（-0.45625）=0.120664＞0；
故f（x）的零點在（-0.45625，-0.4125）上，
f（-0.434375）=0.0574316＞0；
故f（x）的零點在（-0.434375，-0.4125）上，
故f（x）=0在區(qū)間（-1，1）上的根的近似值為-0.4．

點評 本題考查了函數的零點的判定定理的應用及二分法的應用．