Question

設(shè)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=

x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3

．
（1）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

（1）由題意得，當(dāng)-3≤x＜0時，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3），
同理，當(dāng)x＜-3時，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，當(dāng)x＜0時，f（x）的解析式為f（x）=

-x(x+3)，-3≤x＜0 -(x+3)(a+x)，x＜-3

；
（2）因為f（x）是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[-5，5]上的最大值即為它在區(qū)間[0，5]上的最大值，
①當(dāng)a≤3時，f（x）在[0，

3

2

]上單調(diào)遞增，在[

3

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

；
②當(dāng)3＜a≤7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，

3+a

2

]上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3]與[

3+a

2

，5]上單調(diào)遞減，
所以此時只需比較f（

3

2

）=

9

4

與f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

的大�。�
1°當(dāng)3＜a≤6時，f（

3

2

）=

9

4

≥f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

，
2°當(dāng)6＜a≤7時，f（

3

2

）=

9

4

＜f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，
3°當(dāng)a＞7時，f（x）在[0，

3

2

]與[3，5]上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3]上單調(diào)遞減，
且f（

3

2

）=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
綜上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

．