甲、乙、丙三名大學(xué)參加某單位招聘考試，成績合格可獲得面試的資格，甲同學(xué)表示成績合格就去參加面試，而乙、丙二人約定：兩人成績都合格才一同參加面試，否則都不參加．設(shè)每人成績合格的概率均為
2
3
，求：
（Ⅰ）三人中至少有一人成績合格的概率；
（Ⅱ）去參加面試的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（Ⅰ）用A、B、C分別表示事件甲、乙、丙成績合格．由題意知A、B、C相互獨(dú)立，且P（A）=P（A）=P（C）=
2
3
，由此能求出至少有一人成績合格的概率．
（Ⅱ）ξ的可取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出去參加面試的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解答： 解：（Ⅰ）用A、B、C分別表示事件甲、乙、丙成績合格．由題意知A、B、C相互獨(dú)立，
且P（A）=P（A）=P（C）=
2
3
，…（1分）
至少有一人成績合格的概率是：
1-P（
.
A
.
B
.
C
）=1-P（
.
A
）P（
.
B
）P（
.
C
）
=1-（
1
3
）3=
26
27
．…（4分）
（Ⅱ）ξ的可取值為0，1，2，3         …（5分）
P（ξ=0）=P（A
.
B
.
C
）+P（
.
A
.
B
C）+P（
.
A
.
B
.
C
）
=
2
3
×(
1
3
)2+(
1
3
)2×
2
3
+(
1
3
)3=
5
27
，…（6分）
P（ξ=1）=P（
.
A
B
.
C
）+P（
.
A
BC）+P（AB
.
C
）
=(
1
3
)2×
2
3
+
1
3
×(
2
3
)2+(
2
3
)2×
1
3
=
10
27
，…（7分）
P（ξ=2）=P（A
.
B
C）=(
2
3
)2×
1
3
=
4
27
，…（8分）
P（ξ=3）=P（ABC）=(
2
3
)3=
8
27
，…（9分）
所以ξ的分布列為
ξ0123
P
5
27
10
27
4
27
8
27
…（11分）
ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×
5
27
+1×
10
27
+2×
4
27
+3×
8
27
=
14
9
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aex，g（x）=
1
a
lnx，其中a＞0．若函數(shù)f（x）和 g（x）在它們圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求這兩平行切線間的距離；
（2）若對(duì)于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立，求m的取值范圍
（3）當(dāng)x0∈（0，+∞），把|f（x0）-g（x0）|的值稱為函數(shù)f（x）和 g（x）在x0處的縱差．求證：函數(shù)f（x）和g（x）所有縱差都大于2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，求a、b的值；
（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x1|+|x2|=2，試用a表示b2；
（3）求證：|b|≤
4
3
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a1=1，d＞0，且它的第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第14項(xiàng)成等比，分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意n∈N*均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an成立，求c1+c2+…+cn（n≥2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
5
3
，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（
3
2
，m）是橢圓上一點(diǎn)，且
PF1
•
PF2
=
1
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（2，0）的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)
OM
=
OA
+
OB
，且|
OM
|=|
AB
|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosx，sinx）．
（1）若x∈R，求|
AC
|的最大值和最小值；
（2）若x≠
kπ
4
，k∈Z，且
AC
⊥
BC
，求
1+sin2x-cos2x
1+tanx
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一束光線從點(diǎn)A（-3，9）出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一條直線的投影與另一條直線垂直，那么這兩條直線垂直．
 
．（判斷對(duì)錯(cuò)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=1-
5-4x-x2
（-5≤x≤-2）的反函數(shù)是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案