Question

已知集合M={x|1≤4^x-3•2^x+3≤7}，
（1）求集合M；
（2）求函數(shù)f（x）=4 x-

1

2

-2^x+1+5，x∈M的值域及單增區(qū)間？

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把2^x看做一個整體，求出一元二次不等式的解集根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增減性即可．
（2）令t=2^x，由x∈M，求出t的范圍，則g（t）=

t2

2

-2t+5=

1

2

(t-2)2+3，進而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合復合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)f（x）的值域和單調(diào)增區(qū)間．

解答： （1）解：由1≤4^x-3•2^x+3≤7，
∴1≤（2^x）²-3•2^x+3≤7，∴

(2x)2-3•2x+2≥0 (2x)2-3•2x-4≤0

解得0＜2^x≤1或2≤2^x≤4
所以x≤0或1≤x≤2，
故M={x|x≤0或1≤x≤2}
（2）解：f（x）=

(2x)2

2

-2•2x+5，
令t=2^x，∵x≤0或1≤x≤2，∴t∈（0，1]∪[2，4]
g（t）=

t2

2

-2t+5=

1

2

(t-2)2+3，t∈（0，1]∪[2，4]
∴函數(shù)的值域[3，5]
∵t=2^x在x∈[1，2]為增函數(shù)，而g（t）在[2，4]為增函數(shù)，
∴f（x）在[1，2]上為增函數(shù)．
綜上，f（x）的值域為[3，5]，單增區(qū)間為[1，2]

點評：考查學生整體看待的數(shù)學思想，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的能力，以及一元二次不等式解集的求法．