Question

給出下列四個(gè)命題
①已知函數(shù)f（x）=

1  (x為有理數(shù)) 0 (x為無理數(shù))

，則f（x）為偶函數(shù)；
②將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法有5³種投遞方法；
③函數(shù)f（x）=e^-x•x²在x=2處取得極大值；
④已知函數(shù)y=f（x）的圖象在M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，則f（1）+f′（1）=3．
其中真命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由函數(shù)的奇偶性定義，判定①正確；
求出將5封信投入3個(gè)郵筒中，不同的投法有3⁵種，判定②錯(cuò)誤；
用導(dǎo)數(shù)來研究f（x）的單調(diào)性與極值，判定③正確；
求出f（1）、f′（1）的值，計(jì)算f（1）+f′（1），判定④正確；

解答： 解：對(duì)于①，任取x∈R，若x是有理數(shù)，則-x是有理數(shù)，∴f（-x）=1=f（x），
若x是無理數(shù)，則-x是無理數(shù)，∴f（-x）=0=f（x）；
∴f（x）偶函數(shù)；∴①正確；
對(duì)于②，將5封信投入3個(gè)郵筒，每一封信有3種不同的投法，
共有3×3×3×3×3=3⁵種投遞方法，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵f（x）=e^-x•x²，∴f′（（x）=-x²e^-x+2xe^-x=-x（x-2）e^-x；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=2時(shí)，f（x）取得極大值；∴③正確；
對(duì)于④，根據(jù)題意得，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，又f′（1）=k=

1

2

；
∴f（1）+f′（1）=

5

2

+

1

2

=3，∴④正確；
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的奇偶性的判定，排列與組合的知識(shí)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值研究求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程問題，是綜合題目．