【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓與圓外切,與圓內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;
(2)直線過(guò)點(diǎn)且與動(dòng)圓圓心的軌跡交于、兩點(diǎn).是否存在面積的最大值,若存在,求出的面積;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在,面積的最大值為,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為,利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化兩圓內(nèi)切和外切的問(wèn)題,可得出,可得知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓,并設(shè)該橢圓的方程為,利用橢圓的定義求出的值,可求出的值,由此可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,并計(jì)算出的面積關(guān)于的表達(dá)式,換元,利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得出面積的最大值.
(1)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓的半徑為,
由題意知,,,
由橢圓定義可知,動(dòng)圓圓心在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,
設(shè)該橢圓的方程為,且,,.
由于圓內(nèi)切于圓于點(diǎn),則.
因此,動(dòng)圓圓心的軌跡方程為;
(2)存在面積的最大值.
因?yàn)橹本過(guò)點(diǎn),可設(shè)直線的方程為或(舍).
則,整理得 .
由.
設(shè)點(diǎn)、,則,.
則,
因?yàn)?/span>.
設(shè),則,則.
設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù),所以.
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即.
因此,面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu),網(wǎng)絡(luò)外賣也開(kāi)始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率最高的兩種網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)以下簡(jiǎn)稱外賣A、外賣的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查,從使用過(guò)這兩種外賣服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了1000人,每人分別對(duì)這兩家外賣企業(yè)評(píng)分,滿分均為100分,并將分?jǐn)?shù)分成5組,得到以下頻數(shù)分布表:
分?jǐn)?shù) 人數(shù) 種類 | |||||
外賣A | 50 | 150 | 100 | 400 | 300 |
外賣B | 100 | 100 | 300 | 200 | 300 |
表中得分越高,說(shuō)明市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)越滿意若得分不低于60分,則表明該市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”劃分成以下四個(gè)檔次:
分?jǐn)?shù) | ||||
服務(wù)質(zhì)量指標(biāo) | 0 | 1 | 2 | 3 |
視頻率為概率,解決下列問(wèn)題:
從該市使用過(guò)外賣A的市民中任選5人,記對(duì)外賣A服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.
從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人,試求其評(píng)分中外賣A的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”與外賣B的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的差的絕對(duì)值等于2的概率;
在M市工作的小王決定從外賣A、外賣B這兩種網(wǎng)絡(luò)外賣中選擇一種長(zhǎng)期使用,如果從這兩種外賣的“服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)”的期望角度看,他選擇哪種外賣更合適?試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中點(diǎn),E是BD的中點(diǎn).
(1)證明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,對(duì)每一個(gè)正整數(shù),該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為,第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為,記.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)證明:“數(shù)列單調(diào)遞增”是“”的充要條件;
(3)若對(duì)任意恒成立,證明:數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線上一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線、分別交直線于點(diǎn)、.
(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,為其右焦點(diǎn),若,設(shè),且,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為常數(shù),并且).
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在極值點(diǎn),并說(shuō)明理由;
(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以橢圓:的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”,設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.
(1)求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),試求直線交“準(zhǔn)圓”所得的弦長(zhǎng);
(3)射線與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)的直線,與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),且與橢圓的“準(zhǔn)圓”分別交于,兩點(diǎn),試問(wèn)弦是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是,請(qǐng)給出證明:若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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