Question

過去的2013年，我國(guó)多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元．售價(jià)為8元，月銷售5萬只．
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤(rùn)不低于原來的月總利潤(rùn)（月總利潤(rùn)=月銷售總收入-月總成本），該口罩每只售價(jià)最多為多少元？
（2）為提高月總利潤(rùn)，廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x（x≥9）元，并投入

26

5

（x-9）萬元作為營(yíng)銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少

0.2

(x-8)2

萬只．則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)口罩每只售價(jià)最多為x元，根據(jù)條件建立不等式，解不等式即可得到結(jié)論．
（2）求出利潤(rùn)函數(shù)，利用基本不等式即可求出最值．

解答： 解：設(shè)口罩每只售價(jià)最多為x元，則月銷售量為（5-

x-8

0.5

×0.2）萬只，
則由已知（5-

x-8

0.5

×0.2）（x-6）≥（8-6）×5，
即

2

5

x2-

53

5

x+

296

5

≤0，即2x²-53x+296≤0，
解得8≤x≤

37

2

，即每只售價(jià)最多為18.5元．
（2）下月的月總利潤(rùn)y=[5-

x-8

0.5

×

0.2

(x-8)2

]•(x-6)-

26

5

(x-9)]（x-6）-

26

5

(x-9)=

2.4-0.4x

x-8

-

1

5

x+

234-150

5

=

-0.4(x-8)-0.8

x-8

-

1

5

x+

84

5

=-[

4

5(x-8)

+

x-8

5

]+

74

5

，
∵x≥9，∴

4

5(x-8)

+

x-8

5

≥2

4 25

=

4

5

，
即=-[

4

5(x-8)

+

x-8

5

]+

74

5

≤-

4

5

+

74

5

=14，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

5(x-8)

=

x-8

5

，即x=10時(shí)取等號(hào)．
答：當(dāng)x=10時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為14萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立方程或不等式是解決本題關(guān)鍵，考查學(xué)生的閱讀和應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)．