Question

【題目】如圖，在四棱錐C﹣ABNM中，四邊形ABNM的邊長均為2，△ABC為正三角形，MB，MB⊥NC，E，F分別為MN，AC中點．

（Ⅰ）證明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直線EF與平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）連接AN，由題意可得，結合，利用線面垂直的判定可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（Ⅱ）取BC的中點G，連接FG，NG，MG，證明MG與EF相交，記交點為O，則O為MG與EF的中點．則直線EF與平面MBC所成角，就是FO與平面MBC所成角，記為θ．由已知求解三角形可得OF，記F到平面MBC的距離為h，利用等體積法求得h，則，即可得解.

（Ⅰ）證明：連接AN，∵四邊形ABNM的邊長均為2，∴，

∵，且，∴平面，

∵平面，∴；

（Ⅱ）取BC的中點G，連接FG，NG，MG，

顯然，且，即，，

∴MG與EF相交，

記交點為O，則O為MG與EF的中點．

∴直線EF與平面MBC所成角，就是FO與平面MBC所成角，記為θ,

由（Ⅰ）知，又為正三角形，∴，且．

∵，∴平面MBF，而平面MBF，

則，得，，

∵，，∴，，

∴平面ABC，又平面ABC ，，

∴，可得．

∴，

記F到平面MBC的距離為h，

在中，∵，，∴，

∴，得．

故.

所以直線EF與平面MBC所成角的正弦值為.