【題目】已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是等腰直角三角形.把沿其斜邊翻折到，使，設(shè)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，由勾股定理可得，又是等腰直角三角形，可證，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；

（2）方法一：由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角，即可求出結(jié)果；

解法二：等積法

在和中，分別用余弦定理得：中線長(zhǎng)， ，又勾股定理可證①；在中解得，在平面內(nèi)過(guò)作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角，再根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果.

（1）證明：取中點(diǎn)，連、，由已知易得，，于是，從而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以平面，于是平面平面；

（2）由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，，.于是，，，，設(shè)平面的法向量是，則解得，

所以，同理平面的法向量，

設(shè)二面角為，則.

（2）解法二：等積法

由于為的中點(diǎn)，且設(shè)，在和中，分別用余弦定理得：中線長(zhǎng)，同理，從而是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面內(nèi)過(guò)作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角.由，得，設(shè)二面角的度數(shù)為，于是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，底面，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖，梯形中，，過(guò)分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側(cè)折起，得空間幾何體 ，如圖．

1若，證明：平面；

2若，，線段上存在一點(diǎn)，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐C﹣ABNM中，四邊形ABNM的邊長(zhǎng)均為2，△ABC為正三角形，MB，MB⊥NC，E，F分別為MN，AC中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直線EF與平面MBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省開(kāi)展“精準(zhǔn)脫貧，攜手同行”的主題活動(dòng)，某貧困縣統(tǒng)計(jì)了100名基層干部走訪貧困戶的數(shù)量，并將走訪數(shù)量分成5組，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表.

走訪數(shù)量區(qū)間

頻數(shù)

頻率

b

10

38

a

0.27

9

總計(jì)

100

1.00

（1）求a與b的值；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這100名基層干部走訪數(shù)量的中位數(shù)（精確到個(gè)位）；

（3）如果把走訪貧困戶不少于35戶視為“工作出色”，按照分層抽樣，從“工作出色”的基層干部中抽取4人，再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人，求其中有1人走訪貧困戶不少于45戶的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．

（1）在下列條件中選擇一個(gè)________使數(shù)列是等比數(shù)列，說(shuō)明理由；

①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】邊長(zhǎng)為2的等邊和有一內(nèi)角為的直角所在半平面構(gòu)成的二面角，則下列不可能是線段的取值的是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】設(shè)集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，將的所有3元子集（含有3個(gè)元素的子集）中的最小元素的和記為.

（1）求，，的值；

（2）試求的表達(dá)式.

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【題目】華為手機(jī)作為全球手機(jī)銷量第二位，一直深受消費(fèi)者喜歡.據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，2019年度華為手機(jī)（含榮耀）在中國(guó)市場(chǎng)占有率接近！小明為了考查購(gòu)買新手機(jī)時(shí)選擇華為是否與年齡有一定關(guān)系，于是隨機(jī)調(diào)查100個(gè)2019年購(gòu)買新手機(jī)的人，得到如下不完整的列表.定義30歲以下為“年輕用戶”，30歲以上為“非年輕用戶”.

購(gòu)買華為

購(gòu)買其他

總計(jì)

年輕用戶

28

非年輕用戶

24

60

總計(jì)

附：.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

（1）將列表填充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡有關(guān)？

（2）若采用分層抽樣的方法從購(gòu)買華為手機(jī)用戶中抽出6個(gè)人，再隨機(jī)抽2人，求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶的概率.

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