Question

已知函數f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

，x∈R
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為1，求實數a的值；
（Ⅲ）對于任意x∈[0，

π

3

]，不等式f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,三角函數的求值

分析：（Ⅰ）當a=1時，對f（x）進行配方，根據二次函數的性質即可求得其最小值；
（Ⅱ）配方后得到f（x）=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，再分類討論，繼而求出a的值；
（Ⅲ）令t=cosx，t∈[

1

2

，1]，分離參數，利用導數求出函數最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=sin²x+cosx-2=-cos²x+cosx-1=-（cosx-

1

2

）²-

3

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴當cosx=-1時，函數有最小值，
∴f（x）_min=-（-1-

1

2

）²-

3

4

=-3
（Ⅱ）∵f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a+1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，
當-1≤

a

2

≤1時，即-2≤a≤2時，則當cosx=

a

2

，函數的最大值為

a2-2a-2

4

=1，解得a=1+

7

＞2（舍去），a=1-

7

，
當

a

2

＞1時，即a＞2時，則當cosx=1時，函數有最大值，即1=-1+a-

a+1

2

，解得a=5，
當

a

2

＜-1時，即a＜-2時，則當cosx=-1時，函數有最大值，即1=-1-a-

a+1

2

，解得a=-7，
（Ⅲ）∵f（x）═-cos²x+acosx-

a+1

2

，
令t=cosx，由x∈[0，

π

3

]，得t∈[

1

2

，1]，
則f（t）=-t²+at-

a+1

2

∵f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴f（t）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴-t²+at-

a+1

2

≥

1

2

-

a

2

在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
即a≥t+

1

t

，在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
設g（t）=t+

1

t

，
則g′（t）=1-

1

t2

≤0恒成立，
∴函數g（t）在[

1

2

，1]上為減函數
∴g（t）≤g（

1

2

）=

5

2

∴a≥

5

2

點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的最值以及余弦函數的值域，函數恒成立，培養(yǎng)了學生的轉化能力、分類討論能力，恒成立問題往往轉化為函數的最值解決，屬于難題．