Question

定義方程f（x）=f′（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“新不動(dòng)點(diǎn)”，則下列函數(shù)有且只有一個(gè)“新不動(dòng)點(diǎn)”的函數(shù)是（　�。�
①g(x)=

1

2

x2；
②g（x）=-e^x-2x；
③g（x）=lnx；
④g（x）=sinx+2cosx．

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分別求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解方程f（x）=f′（x），根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意方程f（x）=f'（x）的實(shí)數(shù)根x₀叫做函數(shù)f（x）的“新不動(dòng)點(diǎn)”，
①若g（x）=

1

2

x2，則g'（x）=x，由

1

2

x2=x，解得x=0或x=2．即有兩個(gè)“新不動(dòng)點(diǎn)”．
②若g（x）=-e^x-2x，則g′（x）=-e^x-2，由-e^x-2x=-e^x-2得2x=2，∴x=1，只有一個(gè)“新不動(dòng)點(diǎn)”，滿足條件．
③若g（x）=lnx，則g'（x）=

1

x

，由lnx=

1

x

，令r（x）=lnx-

1

x

，則r（x）在x＞0上單調(diào)遞增，可知r（1）＜0，r（2）＞0，只有一個(gè)“新不動(dòng)點(diǎn)”，滿足條件．
④若g（x）=sinx+2cosx．則g'（x）=cosx-2sinx，由sinx+2cosx=cosx-2sinx．得3sinx=cosx，即tanx=

1

3

，∴有無數(shù)多個(gè)“新不動(dòng)點(diǎn)”．
綜上只有②③滿足條件．
故選B

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是一個(gè)新定義的題，考查了推理判斷的能力，理解定義，分別建立方程即可判斷方程根的個(gè)數(shù)．