Question

【題目】已知，.

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明:且.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算出，，即可求出切線方程；

（2）由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.令利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、最值，因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，即，得.

因?yàn)閷?shí)數(shù)，是的兩個(gè)根，所以，從而.令，，則，變形整理得.要證，則只需證，即只要證，

再構(gòu)造函數(shù)即可證明.

(1)解:∵，

∴，，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(2)證明:由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，

整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.

由，知，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

所以.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，即，得.

因?yàn)閷?shí)數(shù)，是的兩個(gè)根，

所以，從而.

令，，則，變形整理得.

要證，則只需證，即只要證，

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證，兩點(diǎn)連線的斜率要比，兩點(diǎn)連線的斜率小即可.

因?yàn)?/span>，所以只要證，整理得.

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，即，

所以成立，故成立.