Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC=AA₁，AC₁與A₁C交于一點P，延長B₁B到D，使得BD=

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AA₁，連接DC，DA，得到如圖所示幾何體．
（Ⅰ）求證：BP∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取AC的中點E，連接DE，PE，證明四邊形BDEP為平行四邊形，可得BP∥DE，即可證明BP∥平面ACD；
（Ⅱ）證明A₁C⊥平面ABC₁，即可證明平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

解答： 證明：（Ⅰ）取AC的中點E，連接DE，PE，則
∵P為AC₁的中點，
∴在△ACC₁中，PE∥CC₁，PE=

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CC₁，
∵BD=

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AA，AA∥CC₁，
∴BD∥CC₁，BD=

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CC₁，
∴BD∥PE，BD=PE，
∴四邊形BDEP為平行四邊形，
∴BP∥DE，
∵DE?平面ACD，BP?平面ACD，
∴BP∥平面ACD；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AA₁，
∵AB⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面A₁C，
∵A₁C?平面A₁C，
∴AB⊥A₁C，
∵AC=AA₁，
∴四邊形ACC₁A₁為正方形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵AC₁∩AB=A
∴A₁C⊥平面ABC₁，
∵AC?A₁B₁C，
∴平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

點評：本小題主要考查利用線面平行與垂直的判定定理證明線面平行、垂直，面面垂直，并且考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．