【題目】如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A(﹣ , ),B( , ),拋物線上的點(diǎn)P(x,y)(﹣ <x< ),過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由題可知P(x,x2),﹣ <x< ,
所以kAP= =x﹣ ∈(﹣1,1),
故直線AP斜率的取值范圍是:(﹣1,1);
(Ⅱ)由(I)知P(x,x2),﹣ <x< ,
所以 =(﹣ ﹣x, ﹣x2),
設(shè)直線AP的斜率為k,則AP:y=kx+ k+ ,BP:y=﹣ x+ + ,
聯(lián)立直線AP、BP方程可知Q( , ),
故 =( , ),
又因?yàn)? =(﹣1﹣k,﹣k2﹣k),
故﹣|PA||PQ|= = + =(1+k)3(k﹣1),
所以|PA||PQ|=(1+k)3(1﹣k),
令f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,
則f′(x)=(1+x)2(2﹣4x)=﹣2(1+x)2(2x﹣1),
由于當(dāng)﹣1<x<﹣ 時(shí)f′(x)>0,當(dāng) <x<1時(shí)f′(x)<0,
故f(x)max=f( )= ,即|PA||PQ|的最大值為 .
【解析】(Ⅰ)通過點(diǎn)P在拋物線上可設(shè)P(x,x2),利用斜率公式結(jié)合﹣ <x< 可得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)知P(x,x2)、﹣ <x< ,設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立直線AP、BP方程可知Q點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可用k表示出 、 ,計(jì)算可知|PA||PQ|=(1+k)3(1﹣k),通過令f(x)=(1+x)3(1﹣x),﹣1<x<1,求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)和斜率的計(jì)算公式的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值;給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率:斜率公式: k=y2-y1/x2-x1才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)θ∈R,則“|θ﹣ |< ”是“sinθ< ”的( 。
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.
求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi , P(ξi=0)=1﹣pi , i=1,2.若0<p1<p2< ,則( )
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)
D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f( )的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3.
①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1 , Q2 , Q3中最大的是 .
②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1 , p2 , p3中最大的是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)= ,其中集合D={x|x= ,n∈N*},則方程f(x)﹣lgx=0的解的個(gè)數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,兩個(gè)頂點(diǎn)分別為,.過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線與的交點(diǎn)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:點(diǎn)在一條定直線上.
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